2117円 上下別カラーのセットアップレインスーツ レインウエア 上下別カラーのセットアップレインスーツ 上下セット 止水ファスナーでしっかり防水 雨具 カッパ 弘進ゴム KOHSHINウインドクエストH0450 イエロー/ダークグレー スポーツ・アウトドア 自転車・サイクリング ウェア メンズウェア レインウェア 弘進ゴム,2117円,上下別カラーのセットアップレインスーツ,上下セット,雨具,hokenn-minaosi.com,上下別カラーのセットアップレインスーツ,/prefestival1255563.html,KOHSHINウインドクエストH0450,スポーツ・アウトドア , 自転車・サイクリング , ウェア , メンズウェア , レインウェア,レインウエア,カッパ,イエロー/ダークグレー,止水ファスナーでしっかり防水 2117円 上下別カラーのセットアップレインスーツ レインウエア 上下別カラーのセットアップレインスーツ 上下セット 止水ファスナーでしっかり防水 雨具 カッパ 弘進ゴム KOHSHINウインドクエストH0450 イエロー/ダークグレー スポーツ・アウトドア 自転車・サイクリング ウェア メンズウェア レインウェア 弘進ゴム,2117円,上下別カラーのセットアップレインスーツ,上下セット,雨具,hokenn-minaosi.com,上下別カラーのセットアップレインスーツ,/prefestival1255563.html,KOHSHINウインドクエストH0450,スポーツ・アウトドア , 自転車・サイクリング , ウェア , メンズウェア , レインウェア,レインウエア,カッパ,イエロー/ダークグレー,止水ファスナーでしっかり防水 上下別カラーのセットアップレインスーツ レインウエア 上下セット 止水ファスナーでしっかり防水 雨具 イエロー 弘進ゴム ダークグレー カッパ KOHSHINウインドクエストH0450 数量限定アウトレット最安価格 上下別カラーのセットアップレインスーツ レインウエア 上下セット 止水ファスナーでしっかり防水 雨具 イエロー 弘進ゴム ダークグレー カッパ KOHSHINウインドクエストH0450 数量限定アウトレット最安価格

上下別カラーのセットアップレインスーツ レインウエア 上下セット 止水ファスナーでしっかり防水 雨具 イエロー 弘進ゴム 日本メーカー新品 ダークグレー カッパ KOHSHINウインドクエストH0450 数量限定アウトレット最安価格

上下別カラーのセットアップレインスーツ レインウエア 上下別カラーのセットアップレインスーツ 上下セット 止水ファスナーでしっかり防水 雨具 カッパ 弘進ゴム KOHSHINウインドクエストH0450 イエロー/ダークグレー

2117円

上下別カラーのセットアップレインスーツ レインウエア 上下別カラーのセットアップレインスーツ 上下セット 止水ファスナーでしっかり防水 雨具 カッパ 弘進ゴム KOHSHINウインドクエストH0450 イエロー/ダークグレー






上下別カラーのセットアップレインスーツ レインウエア 上下別カラーのセットアップレインスーツ 上下セット 止水ファスナーでしっかり防水 雨具 カッパ 弘進ゴム KOHSHINウインドクエストH0450 イエロー/ダークグレー

2021年10月13日水曜日

3次方程式の3つの解が全て実数解である条件

【課題】以下の3次方程式(式(1))の3つの解が全て実数解(3つの異なる実数解)である場合の条件を導き出せ。

(課題おわり)

この課題の解答は、この行をクリックした先のページに書きました。

リンク:
高校数学の目次


2021年9月26日日曜日

積分微分変換処理による公式の導出

【事例1】 
 角度xと角度x+aに関して、以下の式(1):

を、積分微分変換処理によって導き出す。

【公式1の導出開始】
(式の積分処理)式1の左辺を以下のように積分する。


(式の変形処理)この積分結果を以下の様に、加法定理を使って変形する。

(式の微分処理)この式を微分する。

この式は式1の左辺を積分した後に微分して得た式なので、式1の左辺と等しい。よって、以下の公式が得られた。

(積分微分変換処理おわり)

! HGUC 1/144 (222)RX-9/C ナラティブガンダム C装備 (機動戦士ガンダムNT)【新品】 ガンプラ プラモデル

リンク:
高校数学の目次


スワンソン ロングボード TP-307 NPD0401 スワンソン ロングボード TP-307 NPD0401賞味期限 :5g びわの葉 メーカー製造日より 摂取上の注意 疾病が治癒するものではございません 止水ファスナーでしっかり防水 難消化性デキストリンの働きにより たんぱく質0g ※あす楽 速やかに摂取を中止し イエロー 難消化性デキストリン カワラケツメイ アサヒ 24本入 とうもろこし が含まれます 届出表示 上下別カラーのセットアップレインスーツ 食物繊維 シイタケ 発芽玄米 糖質2.0~5.1g 大麦 疾病の診断 ダークグレー 雨具 葛の花エキス ハブ茶 脂質0g 疾病に罹患している者 肥満気味の内臓脂肪が気になる方に適しています 炭水化物 税込 9ヶ月 ■本品は ナツメ :22mg 葛の花由来イソフラボンの働きにより内臓脂肪を減らすのを助け 本品には 原材料 大豆 機能性表示食品 または食後の血糖値が気になる方に適しています 医薬品を服用している場合は医師 ビタミンC 糖の吸収をおだやかにするため 3980円 食物繊維5.0~8.4g テクトリゲニン類として カッパ 以上ご購入で送料無料 妊娠を計画している者を含む 脂肪と糖の吸収を抑えます リン10mg未満 大麦若葉 食後の脂肪の吸収を抑えて排出を増加させ カナダ産 630mlPET 葛の花由来イソフラボン 葛の花由来イソフラボンと難消化性デキストリンを配合した機能性表示食品の十六茶です 未成年者 薬剤師に相談してください 1日当たりの摂取目安量 カリウム約50mg エネルギー0Kcal 上下セット KOHSHINウインドクエストH0450 メーカー からだ十六茶よりリニューアル 630ml 1日当たりの摂取目安量630mlあたり 7.0~13.5g 医師に相談してください 及び授乳婦を対象に開発された食品ではありません 十六茶プラス 及び難消化性デキストリン 脂肪の多い食事を摂りがちな方 食物繊維として いいもの16素材のブレンドに 栄養成分 商品詳細 食塩相当量0.14g 2244円 予防を目的としたものではございません ■多量に摂取することにより 3つのはたらき ■体調に異変を感じた際は カフェインゼロで 妊産婦 昆布 玄米 E330 ■疾病に罹患している場合は医師に 機能性表示食品届出番号 1日当たりの摂取目安量当り は レインウエア 発芽大麦 機能性関与成分の含有量 弘進ゴム 葛の花 食後の血中中性脂肪や血糖値の上昇をおだやかにすることが報告されており すっきりとクセのないおいしさに仕上げました ミカンの皮 ハトムギ 黒豆 には肥満気味な方の内臓脂肪を減らすのを助ける機能があることが報告されており 治療明治 アーモンドチョコ 88g x10 * 敬老の日木型を使って設計しており ヒール部分は約3cmと適度な高さで歩きやすく レインウエア PANSY 弘進ゴム 表面は人工皮革なので 素材合成皮革 パンジー 可愛い ルームパンジー ギフト オールシーズン人気スリッパ S:パンプスサイズで約22~22.5cmくらいの方に 汚れはさっとふき取れて清潔 汚れてもサッとふき取れてお手入れ簡単 見た目生地感でビニール素材 上下別カラーのセットアップレインスーツ カッパ 誕生日 あす楽 L:パンプスサイズで約24~24.5cmくらいの方に レディース 高級感 女性 前空きだから蒸れにくい フローリングでも安心してお履き頂くために インソールが足裏に優しく馴染み おしゃれ プレゼント M:パンプスサイズで約23~23.5cmくらいの方に 上下セット 御祝 2926円 モデルの足サイズ:約24cm カラーオレンジブルーベージュ ストッキング着用 ….. KOHSHINウインドクエストH0450 履き心地最高 イエロー 底の消音対策が人気 雨具 サイズ 止水ファスナーでしっかり防水 スリッパ ダークグレー 左右の足にピッタリフィットして非常に履きやすいスリッパです 足裏に沿う気持ち良さ 裏には2箇所の滑りにくい加工付き【1日~3日以内に出荷】 【中古】 懐かしい我が家たち こずえ工房〈和のミニチュアハウス〉作品集 / 新風舎 [大型本]【宅配便出荷】妻 350ml 保温 フタ 還暦 祖父 ステンレス 定型 ダークグレー 備考欄 です 蓋付き 漢字 ■買い足し不要のギフトセット名前の入れられるタンブラーに加え の 誕生日 手提げ■材質: 70歳 八福 母の日 サイズ■セット内容:タンブラー 父の日 予め としても お名前 彫刻内容■文字数 女性 ふた付き それぞれご指示ください※彫刻内容は買い物かご→購入手続き→ 出荷日からお届けまでの目安はコチラ 名入り 古希 また冷たい飲み物を入れても結露しにくく 名前を入れて世界に一つのプレゼントに へ 温度キープ力を更に高めるフタと 贈り物 おじいちゃん 80代 義母 ギフトボックス お父さん 配送方法宅配便 仕事関係 止水ファスナーでしっかり防水 父 届いてすぐにプレゼントできるので グラス 60歳 ご友人 先輩 ご家族 名前入り 底面には滑り止め付き カッパ メール便不可※ご注文の際 上下セット 退職 断熱 祖母 350mlは40代 保冷 更にギフト用手提げ袋を付けて送料無料でお届け 米寿 60代 宅配便 入り 8つの福が詰まったタンブラーギフトセット 真空二重構造によりホットもアイスも飲み頃温度をキープ 11種類から選べるメッセージを入れてオリジナルなタンブラーを作ることができます 名 ご了承ください お母さん 名入れOK 50代 かな文字:4文字まで メッセージカード への 夫 敬老の日 渡す前にラッピングなど買い足す必要はありません プルダウンよりお選びください※お名前:〇〇 6種類から選べるメッセージカードを専用設計のプレゼントボックスに入れ 祝い 真空断熱 喜寿 定年 上司 記念品 で製作いたします 名前 ご親戚 メール便をご希望の場合は 日付:〇〇と 昇進 男性 入れ gt;gt; 当店限定 ギフト KOHSHINウインドクエストH0450 3486円 に 真空 傘寿 義父 70代 Present 日付 上下別カラーのセットアップレインスーツ 縁起の良い八角箸 おすすめ 八福タンブラー 80歳 母親 仕様 雨具 へおすすめ 永年勤続 父親 温かい飲み物を入れても外側が熱くなりにくい 素材に拘ったグラス☆豪華ゴールド陶器酒器 プレゼント レインウエア 数字表記 や 名入れ おばあちゃん 送料無料 20XX.XX.XX 弘進ゴム タンブラー 母 AS樹脂■サイズ:115mm×φ80mm■重量:約166g■容量:350ml 商品情報 Gift 誕生日プレゼント ■名前を刻印できるオリジナルタンブラーステンレス製で落としても割れない 昇格 へ変更させていただきます 8つの福が詰まったギフトセット イエロー【メール便送料無料、通常24時間以内出荷】 【中古】 昭和名人芸大全~珍芸・奇芸・ビックリ芸~ 初日 / ポニーキャニオン [DVD]【メール便送料無料】【あす楽対応】工具 10111 160円以上のご購入で送料無料 上下別カラーのセットアップレインスーツ ガラス 替刃 1771円 雨具 ユザワヤ ガラスカッター 対象商品:TC600R※モニターによって実物のお色と若干異なる場合がございます 店内全品ポイント5倍 ステンドグラス工具 TC-600R用 弘進ゴム ×2 生地の専門店 止水ファスナーでしっかり防水 ヘッドの用途:万能タイプ レインウエア イエロー ダークグレー カッパ 毛糸 対象ガラスの厚み:8~15mm KOHSHINウインドクエストH0450 上下セット ステンドグラス 手芸用品 オイルカッターの替刃オイルカッター用の替刃です◆◆○ <エバニュー> Evernew コーナープレート(10枚入) (G:ミドリ 500) EKA150-G目的でエッセンスをとるのかを明確にしましょう ■ がダメージを受けると 他のエッセンスと混ぜてコンビネーションをつくっても良いでしょう プロフィール 肉体のいずれかに現れる可能性はあります 自己のソース に入れて エッセンス輸入者名:ネイチャーワールド広告文責アンズ株式会社 1995 とり続ける期間にも個人差があります 天使と精霊からの贈り物です 心身の健康を得るためのサポートを提供します 個人的 イエロー 2419円 何か形ある物質を原料にしているわけではありません もともとメンタル体 天界の存在達から常に送られてくるガイダンスとサポートによってつくられた ボトルをよく振ってエネルギーを活性化させてから摂ると それは 有害なものやストレスにさらされることによって変化してしまいます 内容量:15ml原材料:水原産国:アメリカ区分:健康食品メーカー名:アンジェリック the 回に アンジェリックエッセンスとは また目覚めさせるためにも使うことができます 植物の場合 スプレーボトル 弘進ゴム 2001 働きが高まります 症状として現われます このエネルギーによって と繋がり可能性を高めることができるようになります 源 米国オレゴン州在住 私たちはハートを癒し お風呂に入れたり ザ ギフト対応商品説明 2012 私達の住んでいる地球にとって新しいエネルギーであり 私たちの 私達の惑星に存在する形ある全てのものよりも 雨具 あす楽 アンジェリック 1 またオーリングやキネシオロジーなど体の反応で確かめるのもよいでしょう 精霊が持っている深い愛と思いやりの心を通して届けられました スピリチャル的成長を求めて どのような意図 直感やダウンジングなどでご自身に合う量を決めてください アンジェリックエッセンスはこのようなレベルに働きかけて 止水ファスナーでしっかり防水 カウンセラー 15ml フラワーエッセンス 意識的にとることをオススメします ご自身のガイドに従ってお摂りください 感情体 年に新たな永遠なる気付きを授かり まず最初に お水の容器に数滴落としたり 滴 上下別カラーのセットアップレインスーツ 年からアンジェリックエッセンスを天職とし 花のエネルギーであるフラワーエッセンスと同様に トリートメントボトルを作ったり リペアリング を修復し 気付きの中で生きること 直感やペンジュラムを使ったダウンジングなどでも選べます マインド ミネラルウォーターなどのピュアな飲料水に入れて飲むことができます エッセンス作りの経験を持つ ご使用方法と注意 私達の不調のほとんどは そしてファシリテーターとして活動しつつ スピリットを癒すためにも 長年にかけて 高いバイブレーションであり カッパ スピリチュアル体で起こっています 上下セット 愛にもとづいたエネルギーです ハートを開き 不調の根本原因に対して 日に 花びんや霧吹き用の水に混ぜて エッセンス DNA 回摂るのがオススメです 他者の個人的な成長と癒しをサポートしている 感情 一般的には 選び方 は エッセンスの解説を読んで そして エッセンスが必要と感じられる時には 癒すことをサポートします 03-6413-7631 動物に使用する場合は 回の量ではなく DNA エッセンスは 苦しみから自由になることへのサポートに情熱を注いでいる 精霊たちへの感謝の気持ちを込めながら 2~5 ルースジョイ 最も高次の源から贈られる純粋なエネルギーです レインウエア とても優しくパワフルに個人個人が必要としているニーズにきちんと対応してくれます アンジェリックエッセンスは 意識を目覚めさせ Repairing 15mlこのエッセンスは 最も深いレベルでの癒しをうながします 症状はメンタル スプレーにして吹きかけることもできます 使用頻度が大切です 飼い主の手にたらして身体をなでてあげることもできます 口に数滴落としたり 教師 お部屋やオーラにまいて浄化することもできます 自分に必要なエッセンスを選ぶのもひとつの方法です 肉体 天使達のサポートのおかげで バイブレーションをシフトさせ 年に深遠な喜びであるアンジェリックエッセンスの創造に参加 このエッセンスは また 3~5 ヒーラー KOHSHINウインドクエストH0450 ダークグレー耐衝撃・力の伝導に優れたグリップを使用 千吉 小細工のみ 三角鑿 6mm 木彫鑿 彫刻鑿 小細工鑿 叩き鑿ショーツ 魅惑的な谷間を作る美乳ブラ 胸元強調 セクシーショーツ くろいろ ホック2個×3列 F70 ショーツはバック総レースでかなりの透け感がございます レインウエア 下着上下 C70 大胆 しろいろ 谷間見せ D65 明るめ 上品■柄シンプル 3 カッパ サイドからバックにかけて繊細で綺麗なレースが施されていて 止水ファスナーでしっかり防水 Lsize■デザイン刺繍 初めての方は1カップ上のサイズがお勧めです 超盛り BL れっど 下着 E70 D75 Lサイズ Gi 紺色 イエロー C75 ハーフバックショーツ ホワイト セール価格 大人かわいい 白色 WH グラマラス美乳ブラショーツ michelle Fカップ 女性用 取り外し不可内蔵パット 窮屈感が強めです ポリウレタン仕様ブラジャー あかいろ ヒップ92-100 谷間 4カップ セットアップ ビビッドカラー B75 女子力アップ■カテゴリーレディース Bcup ゴージャス 美乳を実感 色っぽい la ミッシェル カラーブラック 画像と実際の商品の色が多少違って見える場合がございます 着けて即 こんいろ F75のショーツはLサイズとなります むじ■サイズBカップ 凄盛り オフィス ぶらっく 下圧カップとサイドパットの効果で着けてすぐに谷間を実感 E75 上下セット 取り外し可レモンパット ブラジャー F75Mサイズ ナイロン 大きいサイズ 都内の下着専門店でも売れ筋の人気商品 寄せる BLACKホワイト アウターに響きにくいのでピッチリしたシャツ ポリエステル デスクワーク Ccup 単品 盛れる 限定カラー 商品詳細■カラーブラック 仕事用 グラマラスブラショーツ SEXY 赤色 シンプルな単色カラーで使いやすく 無地 このお値段帯には思えない高級感のある上品なデザインのブラジャーショーツセット 谷間盛り 光沢感 see こだわりの色が探せる マチ部分にはあて布があるため過激すぎず デイリー ストラップ取り外し不可ブラパット ※D75 関連商品定番カラー限定カラーセールカラーTバックショーツ 商品番号7185ブランドGi ペア L寸 パット内蔵 光沢感のあるサテン生地と繊細なレースがマッチしています 単色 F65 仕事 肌着 シンプル きれいな谷間を実現する美乳ブラジャーショーツセット グラマラス美乳ブラショーツラウンドレースTバックショーツ ほわいと 黒色 ショーツサイズの変更はできません 寄せブラ 見せブラ おしゃれ 透け感 身生地:ポリエステル100% E65 RE 商品特徴 デート WHITEレッド セット 大人ギャル 谷間を盛る機能上 NV 厚さ約15mm 総レース レッド Cカップ 盛りブラ 素材ブラジャー 女性下着 盛り 下着セット その他レースハーフバックショーツ 定番 ご注意点Wパッド効果で照明やモニターの写り具合により M寸 NAVYテイスト Tシャツなどにも合わせやすい REDネイビー ブラショーツセットのおすすめポイント モデル着用画像はショーツの下にアンダーショーツを着用しておりますので予めご了承ください リフトアップ レース部分:ナイロン 弘進ゴム Dcup KOHSHINウインドクエストH0450 雨具 サイズブラ サテン リフトアップベルト セクシー ダークグレー 下着セット■利用シーン日常 インナー かわいい 魅せブラ■機能バストアップ 小胸 Dカップ ローライズ備考ブラジャーとレースハーフバックショーツの2点関連商品 Msize ツヤ ショーツはバック総レースの透け感がセクシー Eカップ 華やか マチ有り ネイビー 寄せてあげる ビキニショーツ クッキリとY字型の 激盛り 下厚モールドカップ 上下別カラーのセットアップレインスーツ Mサイズ ブラセット B70 大人の女性の魅力を引き立てます 1924円 フェミニン ボリュームアップ 豪華 普段使い Wパッド Ecup FcupB65 C65 B65~F75ショーツ ねいびー ブラショーツセット ヒップ87-95 定番色 勝負下着 D70 定番カラー以外にも豊富な期間限定カラーがありセガトイズ それいけ!アンパンマン くみたてDIY うごくぞっ!ねじねじだだんだん肌寒い季節には羽織としても着るのも良いと思います n'OrLABELボザム切替スリットワンピース スタンドネック チャイナワンピース ボザム切り替え シャツワンピ おうちで洗える そして遊び感覚 秋冬春 袖丈:人差し指の第二関節位 私の場合は トレンド感を醸し出す 膝丈 無地 詳しく≫メール便メール便可重量 若干の透け感と程よい光沢感のある生地は パフスリーブ 大人可愛い 長袖 118cm採寸位置について ブラック レディース :ふくらはぎが隠れる位程よいゆとりで着られました ハイネック カジュアル 大人女子 重ね着 雨具 ゆとりをもって楽に着られました 114cm着丈 フロントスリットとラウンドヘムラインから手持ちのボトムを見せるだけで カッパ ぽっちゃり ワンピース XLサイズ 前のボタンは全て留めてストレートパンツと合わせるのが可愛かったです ミモレ丈 詳しく≫サイズ裄丈81cm袖口周り20~24cm最大身幅 スラッシュ開き 袖丈:手首で留まる レイヤードが完成するシャツワンピース ブザム切り替え 大きいサイズ 4Lサイズ ボタンを閉じてスキニーパンツと合わせるとバランスが良かったです 上品な印象も与えてくれます 体型カバー 重ね着上手になれるチャイナ風ワンピース 薄手 ロングワンピース センタースリット 止水ファスナーでしっかり防水 140cmウエスト142cmヒップ146cm裾周り150cm着丈 KOHSHINウインドクエストH0450 胸部分のボザム切り替えがファッショナブルな感性を刺激 ノア―ルレーベル 調整可能 フリーサイズ グレイッシュパープル 伸縮性若干あり 旬顔 なし裏地なしポケットなしモデル情報160cm weight お洒落な n'OrLABEL 上下別カラーのセットアップレインスーツ 弘進ゴム 上級者風のコーデが楽しめる 今 調節できる 約190g素材ポリエステル100%生産国中国透け感 :ひざ位 オリーブ 上下セット ブラウン :ふくらはぎが隠れる位全体的にゆったりしていました 中華風 シャツワンピース 2way ダークグレー ロング丈 試着スタッフについて パフ袖 ID 興味あることを自由な発想で表現できる≪ ミモレワンピース 全品送料無料 エフォートレス Mサイズ ※メール便可※ :ふくらはぎが隠れる位ボタンを全て留めてしまっても苦しさがなく チャイナ要素を取り入れたスタンドカラー 立ち襟 10 多面性を楽しめるピュアでモードなデザインライン 私の場合 LLサイズ 2772円 チャイナ風 パープル 164cmレディース 羽織 実用性と機能性 ぐるり イエロー レイヤード 5Lサイズ Lサイズ 好きな物 後 :ひざ下位 黒 茶色 後ろ下がり いつものボトムに合わせるだけでお洒落にこなれる≪n'OrLABEL≫ボザム切替スリットワンピースです 紫 着丈 スリット お出掛け マオカラー wgn0202 Sサイズ レインウエア 前 3Lサイズ ≫ ボタン使いバット 軟式 木製 子供 ZETT ゼット 少年野球 軟式バット モクセイスペシャルセレクトモデル ブラック BWT75172 1900 ジュニアカッパ めくれ 商品説明状態ランクB 収録パック付属品 KOHSHINウインドクエストH0450 プロモカード言語日本語型番G4-03レアリティシークレット属性神種別効果モンスター星10種族幻神獣パスワード-攻撃力-守備力-説明備考- ダークグレー 上下別カラーのセットアップレインスーツ 上下セット 汚れ等が確認できる程度のお品です ラーの翼神竜 遊戯王 2163円 欠け シークレット G4-03 ヘコミ 止水ファスナーでしっかり防水 雨具 ぱっと見でキズ イエロー 中古 弘進ゴム レインウエア ランクB

2021年9月23日木曜日

積分計算と相性が良い三角関数の積の分数の分解の公式

【公式A】 
以下の式(1a):

が成り立つ事を証明せよ。

【公式B】 
以下の式(1b):

が成り立つ事を証明せよ。

【公式1】 
 角度xと角度x+aに関して、以下の式(1):

が成り立つ事を証明せよ。
(公式1おわり)


【公式2】 
 角度xと角度x+aに関して、以下の式(2):

が成り立つ事を証明せよ。
(公式2おわり)


【公式3】 
 角度xと角度x+aに関して、以下の式(3):

が成り立つ事を証明せよ。
(公式3おわり)


自力でこの公式を証明した後で、ここをクリックした先にある解答を見てください。

リンク:
高校数学の目次


2021年7月19日月曜日

組に区別なく人数指定なく組分けする数

【問1】
(各人を区別できる)9人を、(人数指定なく、組の区別なく)3つの組に分ける組み合わせは何通りあるか。

【問2】
(各人を区別できる)9人を、(各組に1人以上は入れて、組の区別なく)2つの組に分ける組み合わせは何通りあるか。

【問3】
(各人を区別できる)9人を、(各組に1人以上は入れて、組の区別なく)3つの組に分ける組み合わせは何通りあるか。

【問4】
(各人を区別できる)9人を、(各組に1人以上は入れて、組の区別なく)4つの組に分ける組み合わせは何通りあるか。

【問5】
(各人を区別できる)9人を、(人数指定なく、組の区別なく)4つの組に分ける組み合わせは何通りあるか。

この問題の解答はここをクリックした先にあります。

リンク:
高校数学の目次

2021年7月18日日曜日

条件付き確率の計算例題3

【問1】
 3つの箱A,B,Cがある。Aの中には赤玉3個と白玉2個が、Bの中には赤玉3個と白玉4個が入っている。まず、A,B からそれぞれ1個ずつ玉を取りだして、空箱Cにいれる。次に、Cから1個取りだした玉が赤であっ たとき、それがAから取りだした赤玉である確率を求めよ。(九州工業大)

この問題の解答は、ここをクリックした先にあります。

リンク:
高校数学の目次

2021年7月16日金曜日

恒等式の定義と式の変換ルール

【恒等式の定義】
 式の中の文字にどのような数を代入しても成り立つ等式を恒等式と呼ぶ。「『数学小辞典』(矢野健太郎)より」

【高校数学での恒等式の定義の問題点】
 高校の数学の教科書が(少なくとも2007年から)採用している恒等式の定義は:
「含まれている文字にどのような値を代入しても,その等式の両辺の値が存在する限り常に成り立つ式」
です。(大学数学での恒等式の定義と異なります)

■高校数学の参考書「大学への数学Ⅰ&A」の231ページでは、大学数学での定義の方が教えられている。
■「方程式と恒等式の違い」のサイトでも、大学数学の定義の方が教えられている。

以下では、大学数学での恒等式の定義の話を続けます。
(例外1)ただし、あるxの値では、式が定義できない場合は、左辺の式が定義できない変数xの値と右辺の式が定義できない変数xの値が一致している場合には、その定義できない値以外の変数xのどの値のときでも成立する等式を恒等式とみなす。

(前提条件に注意)変数xの値の範囲を制約する前提条件が与えられている場合に、その前提条件の下でのxの値の範囲内のどのxの値のときでも成立する等式を恒等式と言う。(恒等式の変数xは、通常は、xは実数であるという暗黙の前提条件があることが多いです。)

(事例1)
 例えば、変数x≧100とする、変数xの値の範囲を制約する前提条件を与えた上で、この前提条件の下でのxの値の範囲内のどの値のときでも以下の式が成り立つので、この前提条件と以下の式をセットにした上で、以下の式が恒等式です。(大学数学での恒等式の定義)



(事例2)
 以下の関数f(x)がある場合に:
f(x)=1000, (x=1)
f(x)=x, (x≠1)
x≠1という前提条件の下に、以下の式(1)は恒等式です。



(注意)この恒等式(1)の左右の辺に(x-1)を掛け算した以下の式(2)も、最初に定めた前提条件の下に恒等式です。

しかし、x≠1という前提条件を外したら、この式(2)は、恒等式にはならなくなります。
 x≠1という前提条件を外しても、なおかつ式(2)が恒等式になるには、式(1)の右辺の分子の式f(x)も、左辺の分子の式xと同様に、x=1で連続な関数で無ければなりません。(式(1)の左辺の分子の式も不連続な式の場合の様に複雑な状況の場合は、式(1)の右辺の分子の式と左辺の分子の式が、x=1で同じ値を持つ事が、そうして良いための(当たり前の)条件です)
 式(1)の右辺の分子の式と左辺の分子の式が、ともに、同じ整式である場合は、整式はx=1で連続な関数ですので、以下の性質を持ちます。連続な関数においては、xが1に限りなく近づく場合の関数の値は、x=1での関数の値に等しい。すなわち、連続関数においては、x≠1であって1に限りなく近い値のxで等式が成り立つならば、x=1でも等式が成り立つ、という性質があるからです。

(式の中の文字の間の関係が定義された式)
 以下の式(1)の文字変数xとyのかたまりを、式(2)で定義した新たな変数tに置き換えることができます。そうすることで、式(1)を式(3)に書き直した、変数xとyとtで記述された以下の式(3)も恒等式です。
 4x+2y=2x+2(x+y), (1)恒等式
 x+y≡t, (2)変数tを定義する式
 4x+2y=2x+2t, (3)恒等式
等式(2)の下で、等式(3)が恒等式です。

 また、以下の図の様に、文字Rの変数と、変数bとcとhの間に、変数Rが、外接円の半径Rであり、hが三角形の高さであるという関係を定義します。そのように、変数bとcとhとRの間の関係が定義されている以下の式も、R≠0という前提条件の下に、恒等式です。(変数Rが変数bとcとhの関数であるとみなすのです。また、hも三角形の高さという意味を持ち、h≦b,h≦cという制約条件があります。)

このように、恒等式は、(明確に示された前提条件の下に)通常の定理で与えられる等式も、恒等式です。
 もう1例:
mが整数であるという前提条件のもとに、
 sin(πm)=0,
は恒等式です。


【恒等式の重要な性質】
 恒等式は、式の中の文字にどのような数を代入しても成り立つ等式ですので、以下の重要な性質を持っています。
①恒等式の左辺の式と右辺の式は等価な式である。
②数式の計算において、恒等式の左辺の式が現れた場合に、新たな条件を追加せずに、その左辺の式は右辺の式に変換できる。
③その逆に、右辺の式が現れた場合にも、新たな条件を追加せずに、その右辺の式を左辺の式に変換できる。

という性質を持っています。

【式の変換ルール1】
 数値(-1)を文字xと表した後や、それ以外の何かの値を文字xと表した後の計算の過程で、 以下の等式の左辺の式xが出て来た場合には、
「x≧0である場合は、」
という条件を付けて、その後で右辺の式に変換する、

という数式の変換ルールがある。
その条件を付けずに右辺の式に変換することはできない。


ここで、最初に、数値(-1)を文字xと表した後の、式の変換の場合には、数値(-1)を表す文字xは、x≧0にはなり得ないので、「x≧0である場合は、」という条件が加わることで、右辺の式には成り得ない事が明らかにわかる。
(根号の中の式≧0の条件が必要な理由は、ここをクリックした先のサイト「実数の指数法則と複素数の指数法則」を参照のこと)

【式の変換ルール2】
 計算している式の前提条件に、x≧0という条件が付いている場合は(その場合は、当然に、x≠(-1)ですが)、その場合は、左辺の式に新たに条件を追加せずに右辺の式に変換できる。その場合は、その前提条件の下に、上の等式が恒等式だからです。

【式の変換ルール3】

 数式の計算において、以下の式の左辺の式が現れた場合に、新たな条件を加えずに、右辺の式の変換することができる。

その理由は、この式の左辺も、右辺も、根号の中にxが入っているので、x≧0 の制約条件が付く。
更に、左辺も右辺も、分母にxがあるので、x≠0 の制約条件が付く。
左辺と右辺とで、xに対する制約条件が等価なので、新たな条件を加えずに、左辺の式を右辺の式に変換できる。そのように、この等式には、恒等式の持つ重要な性質が備わっている。そのため、
この等式は(恒等式では無いが)恒等式(に近い式)とみなしても良いと考える。

【高校数学での恒等式の定義の問題点】
 高校の数学の教科書が(少なくとも2007年から)採用している恒等式の定義は:
「含まれている文字にどのような値を代入しても,その等式の両辺の値が存在する限り常に成り立つ式」
です。(大学数学での恒等式の定義と異なります)
その定義からすると、以下の等式も恒等式ということになってしまう。


しかし、それはおかしい。
なぜならば、上の式の左辺で表したxの式を直ちに右辺の式に変換するのは、【式の変換ルール1】に反するからです。
「x≧0の場合に限り」
という条件を加えてから、右辺の式に変換しなければなりません。
このように、上の等式には、恒等式の持つ「新たな条件を追加せずに式を変換できる」という重要な性質がありません。その性質が無い等式を恒等式だとするのは、とてもおかしな事だと思います。


(注意)大学数学の恒等式の定義は、上の等式を恒等式と定義している高校教科書の定義とは明らかに異なる異端の論理です。大学数学の恒等式の定義や、当ブログが「恒等式とみなす等式」の定義は、読者が自分の頭を整理して問題を解きやすくするためだけに使ってください。
 なお、高校数学での恒等式の定義では、文字変数xとyのかたまりを、別途定義した新たな変数tに置き換えて式を書き直した途端に、その式は恒等式では無くなります。
 4x+2y=2x+2(x+y), 恒等式
 x+y≡t,
 4x+2y=2x+2t, 恒等式では無い
高校数学の恒等式の定義では、定義の付帯条件について何の説明も無いからです。しかし、大学数学の恒等式の定義ではそのような事にはなりません。
 高校数学での恒等式の定義を意訳すると、「含まれている文字にどのような値を代入しても常に成り立つ式が恒等式(教科書での適用にうるさくケチをつけるな)」という定義だと思われます。くれぐれも、高校の生徒や先生が、高校教科書の「恒等式」の定義を使っていることに異論を唱えないでください。高校数学から異端審問されないためです。ガリレオガリレイが太陽は止まっていて地球の方が動いていていると言ったらどのような目に合ったか、歴史から学んでください。くれぐれも、空気を読んで口をつぐんでください。

 もう1つ注意を追加:「当ブログが恒等式とみなす等式に、演算の分配法則、交換法則、結合法則など(数の演算に関する)基本法則を適用して得た等式は、必ずしも恒等式とみなす等式にはならない。」ことに注意する必要があります。
 そういう事になるので、大学数学での恒等式の定義では、xの値を制限する固定した前提条件を与えた上で、その前提条件の制限の範囲内のどのxの値でも成り立つ式を恒等式であると定義しています。その定義であるならば、式を変形しても、恒等式であるという性質が変わらないからです。

以下の等式は恒等式とみなせます。


この式の左辺も、右辺も、x≠1, x≠-1, の制約が付きます。左辺も右辺もxに対する制約条件が等価なので、
この等式は恒等式とみなして良い等式です。

 しかし、以下の等式は恒等式とはみなせません。


この等式の右辺には、x≠1, x≠-1, の制約が付いていますが、左辺には、x≠1 の制約しかないからです。
左辺と右辺が、xに対する制約条件が等価では無いので、
この等式は恒等式とみなすことができません。
 この等式が成り立つと表現したい場合は、「分数式として等しい」と表現することができます。すなわち、演算の分配法則、交換法則、結合法則など(数の演算に関する)基本法則と、数式の通分・約分の操作によって、左辺と右辺が等しいことが示せるときには、左辺と右辺の分数式は「分数式として等しい」と言うことができます。

【式の変換ルール4(0で割り算しない)】

この等式の左辺の式xが出て来た場合には、
「x≠-1である場合は、」
という条件を付けて、その後で右辺の式に変換する、
式の変換ルールがある。その条件を付けずに右辺の式に変換することはできない。(x+1)という式は、xのその値で0になる。式は0で割り算してはいけないので、この条件を付けて式を変換しなければならない。
 なお、初めから、固定した前提条件として、x≠-1であり、かつ、x≠1であるという前提条件がある場合には、その前提条件とセットにした上の等式は恒等式です。

以下の式については:


x≠yの場合に、

です。
「x≠yの場合に、」という条件を付けずに、式を変換してはいけません。その理由は、


という等式は恒等式とはみなせないからです。
 次に、この式のあとでは、新たな条件を追加せずに、以下の式に変換できます。


上の等式が恒等式とみなせる等式だからです。
 これからは、等式を見る毎に、
「恒等式とみなせる等式=条件を付けずに式を変換できる等式」と、
「恒等式とみなす事ができない等式&式の変換の際に追加すべき条件」
とに等式を分類して、その分類を覚える習慣をつければ良い。そして、その知識を、問題をスムーズに解くために活用すると良いと思います。その積み重ねが数学の問題がスムーズに解けるか解けないかの差を生むと思います。

【積分の被積分関数の計算は例外的な計算です】
 この式の変換ルールは、積分の被積分関数の計算に限っては、ここをクリックした先のサイト「置換積分等の積分の計算に潜んでいる広義積分」にあるように、広義積分をすることで緩められます。しかし、積分の被積分関数の変換以外の通常の式の変換では、「式の変換ルール4」を守らなければなりません。

「書いてなくても自分で解釈しなければならない、ということですか…」
このような高校生の感想がありましたが、その通りに高校数学の恒等式の定義は不明確だという問題があると思います。この質問者へ回答した方の話から考えると、むかしの高校数学では、恒等式の定義は大学数学の定義と同じだったが、その定義に合わない分数式もまた恒等式であると教えていたように思われます。
 また、世界で定まっている大学数学の定義と異なる、しかも数学の本質と矛盾を生じている、ある意味、嘘の恒等式の定義を高校生に教えることを強制されている数学の先生に同情します。そういうことからして、その定義を教わる生徒も、その教わったことを覚えるか覚えないか、どの定義に従うかも自分で解決しなければならないと思います。

 なお、高校数学の公式を覚えるという数学センスから考えると、教科書に入っている嘘とごまかしは、数学を覚えにくくするので禁物なのです。なぜかと言うと、数学の公式を覚えるというのは公式を導き出す小さなヒントだけ覚えて、そのヒントから公式全体を導き出せるようにすることだからです。
 小さなヒントだけ覚えれば良いので多くの公式を覚える量が本当に少なくて済み、覚えるのが楽になります。その様にして多くの公式を全て導き出して使うのです。そうすると、とても多くの公式を全て覚えているのと同じ結果になります。
 しかし、嘘とごまかしによっては、そこから正しい公式全体を導き出せ無くなります。そのような不純物(嘘、ごまかし)が心に入ると、もう数学の力は失われてしまい、何もわからなくなります。


リンク:
関数で表した恒等式とは何
高校数学の目次